António Manuel e os filhos

Aqui há uns tempos coloquei uma charada a quem niguém respondeu (devia ser muito difícil :P) e então decidi colocar aqui a solução.

A questão era a seguinte:
António Manuel, grande empresário de hotelaria no Algarve onde vive, casou-se apenas com 22 anos quando ainda era recepcionista de um hotel do pai. Desse casamento com Daniela nasceu Rudolfo, o seu primeiro filho. António Manuel tinha 25 anos quanto foi pai pela primeira vez. Mais tarde, divorciou-se de Daniela porque se tinha apaixonado por Cláudia, com que está actualmente casado e de que já tem uma filhota, a Catarina.
Certa vez, quanto António Manuel pretendia contratar um gestor para um dos hotéis da sua cadeia, colocou a seguinte questão aos candidatos:
Eu tenho dois filhos. Hoje a minha idade é o dobro da soma das idades dos meus filhos. Daqui a dez anos, a soma das idades de meus filhos será igual à minha idade actual. Se eu lhe disser que fui pai pela primeira vez aos vinte e cinco anos, sabe-me dizer que idade tenho?


Solução:

Considerem-se as seguintes simbologias:

X – idade actual de António Manuel

Y – idade actual de Rudolfo

Z – idade actual de Catarina

Se António Manuel diz que hoje a sua idade é o dobro da soma das idades de seus filhos então, simbolicamente, está a dizer que X=2*(Y+Z).

Quando ele afirma que daqui a dez anos a sua idade será apenas igual à soma das idades dos filhos, está a dizer que X=(Y+10)+(Z+10).

Se António Manuel foi pai pela primeira vez aos 25 anos e se agora tem X anos, então a idade do seu filho Rudolfo (o mais velho) traduz-se por Y=X-25.

Temos então três expressões matemáticas que representam as três frases essenciais desta história:

X=2*(Y+Z)

X=Y+Z+20

Y=X-25

Se substituirmos Y nas expressões 1 e 2 obtém-se

X=2*[(X-25)+Z]

X=(X-25)+Z+20

Trabalhando a primeira expressão,

X=2X-50+2Z

50-2Z=2X-X

X=50-2Z

Que pode ser substituída na segunda expressão,

X=X+Z-5

50-2Z=50-2Z+Z-5

0=Z-5

Z=5

Sendo Z a idade actual da Catarina, esta tem 5 anos.

X=50-2Z=50-2*5=50-10=40

António Manuel tem 40 anos.

Y=X-25=40-25=15

Rudolfo tem 15 anos.